求解一维初值问题：特征线法与D'Alambert公式

我们求解维数 $n = 1$ 时的波方程初值问题

WaveCauchy (f, φ, ψ) := {\begin{cases} L u = u_{t t} - a^{2} \partial_{x}^{2} u = f (x, t), & (x, t) \in R \times R_{+}, \\ u (x, 0) = φ (x), & x \in R, \\ u_{t} (x, 0) = ψ (x), & x \in R . \end{cases}

初值问题的求解

特征线法

注意到此时 $\nabla = \partial_{x}$ ，此时可作分解

L = \partial_{t}^{2} - a^{2} Δ = (\partial_{t} - a \partial_{x}) (\partial_{t} + a \partial_{x})

令 $v := (\partial_{t} - a \partial_{x}) u$ ， $WaveCauchy (f, φ, ψ)$ 可化为如下的两个初值问题：

\begin{matrix} {\begin{cases} u_{t} - a u_{x} = v, \\ u (x, 0) = φ (x); \end{cases} \\ {\begin{cases} v_{t} + a v_{x} = f, \\ v (x, 0) = ψ (x) . \end{cases} \end{matrix}

然后分别用一阶线性方程与特征线法中提到的特征线法分别求解下式、上式即可．

D'Alembert 公式

上面的特征线法求解的结果为

u (x, t) = \frac{φ (x + a t) + φ (x - a t)}{2} + \frac{1}{2 a} \int_{x - a t}^{x + a t} ψ (ξ) d ξ + \frac{1}{2 a} \int_{0}^{t} d τ \int_{x - a (t - τ)}^{x + a (t - τ)} f (ξ, τ) d τ

当 $f \equiv 0$ ，即原方程为齐次方程时，方程的解为

u (x, t) = \frac{φ (x + a t) + φ (x - a t)}{2} + \frac{1}{2 a} \int_{x - a t}^{x + a t} ψ (ξ) d ξ

上式称为 D'Alembert 公式．

注

D'Alembert 公式可表示为

\begin{matrix} (⋆) & u (x, t) = F (x + a t) + G (x - a t) \end{matrix}

例如

\begin{aligned} F (s) & = \frac{1}{2} φ (s) + \frac{1}{2 a} \int_{0}^{s} ψ (ξ) d ξ, \\ G (s) & = \frac{1}{2} φ (s) - \frac{1}{2 a} \int_{0}^{s} ψ (ξ) d ξ \end{aligned}

物理意义为左行波与右行波的叠加．

另一方面，注意到形如 $(⋆)$ 的解均为一维波方程（不考虑初值条件） $u_{t t} - a^{2} u_{x x} = 0$ 的解，而 $(⋆)$ 中出现的两项分别为 $u_{t} - a u_{x} = 0$ 、 $u_{t} + a u_{x} = 0$ 的解．

相容性条件：形式解为古典解的条件

若 $φ$ 是 $C^{2}$ 的， $ψ$ 是 $C^{1}$ 的， $f$ 在 $R \times [0, + \infty)$ 是 $C^{1}$ 的．

此时解 $u$ 是 $C^{2}$ 的，从而是古典解．

推论：解的奇、偶、周期保持

如果 $f, φ, ψ$ 都是奇／偶／周期为 $l$ 的函数，则解也为奇／偶／周期为 $l$ 的函数．

半无界问题的求解

方程组

{\begin{cases} L u = f (x, t), & in R_{+} \times (0, + \infty) \\ u = φ, u_{t} = ψ, & on R^{+} \times {t = 0} \\ u = g, & on {x = 0} \times (0, + \infty) \end{cases}

称为半无界问题．求解半无界问题的想法是将定解问题的初值和非齐次项延拓到整个实数轴上，从而转化为 Cauchy 初值问题求解．

齐次边值半无界问题：对称开拓法

当 $g \equiv 0$ 时，称半无界问题为齐次半无界问题，即

{\begin{cases} L u = f (x, t), & in R_{+} \times (0, + \infty) \\ u = φ, u_{t} = ψ, & on R^{+} \times {t = 0} \\ u = 0, & on {x = 0} \times (0, + \infty) \end{cases}

考虑对 $x$ 作奇延拓：

φ \to \bar{φ}, ψ \to \bar{ψ}, f \to \bar{f}

这里 $\bar{◻} (x, t) = {\begin{cases} ◻ (x, t), & x ⩾ 0 \\ - ◻ (- x, t), & x < 0 \end{cases}$ ．则原题化为 Cauchy 初值问题

WaveCauchy (\bar{f}, \bar{φ}, \bar{ψ}) .

方程的解 $\bar{u}$ 依推论为奇函数．由 Cauchy 初值问题解的表达式知

\bar{u} (x, t) = \frac{\bar{φ} (x + a t) + \bar{φ} (x - a t)}{2} + \frac{1}{2} \int_{x - a t}^{x + a t} \bar{ψ} (ξ) d ξ + \frac{1}{2 a} \int_{0}^{t} d τ \int_{x - a (t - τ)}^{x + a (t - τ)} \bar{f} (ξ, τ) d ξ .

进一步化为：

$x \geq a t$ 时，

u (x, t) = \frac{φ (x + a t) + φ (x - a t)}{2} + \frac{1}{2 a} \int_{x - a t}^{x + a t} ψ (ξ) d ξ + \frac{1}{2 a} \int_{0}^{t} d τ \int_{x - a (t - τ)}^{x + a (t - τ)} f (ξ, τ) d ξ .

$x < a t$ 时，

\begin{aligned} u (x, t) = & \frac{φ (x + a t) + φ (a t - x)}{2} + \frac{1}{2 a} \int_{a t - x}^{x + a t} ψ (ξ) d ξ \\ + \frac{1}{2 a} (\int_{t - \frac{x}{a}}^{t} d τ \int_{x - a (t - τ)}^{x + a (t - τ)} f (ξ, τ) d ξ + \int_{0}^{t - \frac{x}{a}} d τ \int_{a (t - τ) - x}^{x + a (t - τ)} f (ξ, τ) d ξ) . \end{aligned}

相容性条件

若各项满足下列条件：

$φ \in C^{2}$ ， $φ (0) = 0$ ；
$ψ \in C^{1}$ ， $ψ (0) = 0$ ；
$f \in C^{1}$ ， $a^{2} ψ^{″} (0) + f (0, 0) = 0$ .

则上面给出的 $u \in C^{2}$ ，为齐次半无界问题的解．

说明

$u$ 在 $(0, 0)$ 连续推 $φ (0) = 0$ ， $u_{t}$ 在 $(0, 0)$ 连续推 $φ (0) = 0$ ， $u \in C^{2}$ 且在 $(0, 0)$ 处适合方程推 $a^{2} ψ^{″} (0) + f (0, 0) = 0$ . 注意应用边界 ${x = 0} \times (0, + \infty)$ 上 $u = 0$ 的条件．

非齐次边值半无界问题

一般地，对非齐次半无界问题

{\begin{cases} L u = f (x, t), & in R_{+} \times (0, + \infty) \\ u = φ, u_{t} = ψ, & on R^{+} \times {t = 0} \\ u = g, & on {x = 0} \times (0, + \infty) \end{cases}

作变量替换：

u (x, t) = v (x, t) + g (t)

代入得

{\begin{cases} L v = f (x, t) - g^{″} (t), & in R_{+} \times (0, + \infty) \\ v = φ - g (0), v_{t} = ψ - g^{'} (0), & on R^{+} \times {t = 0} \\ v = 0, & on {x = 0} \times (0, + \infty) \end{cases}

从而，该非齐次边值半无界问题等价于新的齐次边值半无界问题．

第二边值条件非齐次边值问题

若改为第二边值条件，变为：

{\begin{cases} L u = f (x, t), & in R_{+} \times (0, + \infty) \\ u = φ, u_{t} = ψ, & on R^{+} \times {t = 0} \\ u_{x} = g, & on {x = 0} \times (0, + \infty) \end{cases}

则可作函数变换

u (x, t) = x g (t) + v (x, t)

将边值问题转化为齐次边值条件

v_{x} = 0, on {x = 0} \times (0, + \infty) .

再由对称开拓法（偶延拓）即可．求解多维初值问 M